Droite non parallèle à l'axe des ordonnées - Coefficient directeur

Le plan est muni d'un repère orthonormé \(\left(\text{O}; \overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right)\).

Propriété

Soit \(d\) la droite d'équation réduite \(y=mx+p\), où \(m\) et \(p\) sont deux réels. On appelle \(f\) la fonction affine définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=mx+p\). Elle est représentée graphiquement par la droite \(d\).

• Si \(m > 0\), alors la fonction \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
  
• Si \(m=0\), alors la fonction \(f\) est constante sur \(\mathbb{R}\).
  
• Si \(m<0\), alors la fonction \(f\) est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\).
  

Propriété

Soit \(d\) la droite d'équation réduite \(y=mx+p\), où \(m\) et \(p\) sont deux réels.
Soit \(\text A(x_{\text A};y_{\text A})\) et \(\text B (x_{\text B};y_{\text B})\) deux points distincts de \(d\).
Alors le coefficient directeur de \(d\) est donné par \(\boxed{m = \dfrac{y_{\text B} - y_{\text A}}{x_{\text B} - x_{\text A}}}\).

Démonstration

Soit \(d\) la droite d'équation réduite \(y=mx+p\), où \(m\) et \(p\) sont deux réels.
Soit \(\text A(x_{\text A};y_{\text A})\) et \(\text B (x_{\text B};y_{\text B})\) deux points distincts de \(d\).
Un vecteur directeur de la droite \(d\) est \(\overrightarrow{\text{AB}} \begin{pmatrix} x_{\text B} - x_{\text A} \\ y_{\text B} - y_{\text A} \\ \end{pmatrix}\). Le vecteur \(\dfrac{1}{x_{\text B} - x_{\text A}} \overrightarrow{\text{AB}}\) de coordonnées \(\begin{pmatrix} 1 \\ \dfrac{y_{\text B} - y_{\text A}}{x_{\text B} - x_{\text A}} \\ \end{pmatrix}\) est un vecteur non nul colinéaire au vecteur \(\overrightarrow{\text{AB}}\).
Donc le vecteur \(\dfrac{1}{x_{\text B} - x_{\text A}} \overrightarrow{\text{AB}}\) est également un vecteur directeur de la droite \(d\).
Pusisque le vecteur\(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 1 \\ m \\ \end{pmatrix}\) est un vecteur directeur de la droite \(d\), on en déduit que :\(m = \dfrac{y_{\text B} - y_{\text A}}{x_{\text B} - x_{\text A}}\).

Exemple

Soit \(\text{A} (-3;1)\) et \(\text B (4;-3)\) deux points d'une droite \(d\) d'équation réduite \(y=mx+p\).
Le coefficient directeur de la droite \(d\) est : \(m = \dfrac{y_{\text B} - y_{\text A}}{x_{\text B} - x_{\text A}}= \dfrac{-3 - 1}{4 - (-3)} = -\dfrac{4}{7}\).